７月３１日まで失業保険が支給された場合、残日数は２９日になります。２年半パートで勤めた会社（雇用保険加入済み）を、４月１５日付けで自己都合退職しました。私は、会社都合で退職したので、すぐに給付金をもらっています。

会社が社会保険の手続きをしてくれない為、退職した場合、失業保険をもらう際の離職理由は、特定受給資格者になりますか？
会社が、入社（正社員です）してから5か月、雇用保険は初月からかかっていたのですが、その他社会保険・厚生年金等の手続きをすると言ったまま何度催促をしても手続きをしてくれないため、先々不安ですし退社しようと思っています。

以前の会社でも雇用保険の被保険者期間があったため、失業保険の給付を受けようか悩み中です。

ハローワークの失業保険の離職理由を見ていると、３か月の待機期間がない『特定受給資格者となる場合』というところに、
○事業所の業務が法令に違反したため離職した者
という項目がありました。

社会保険をかけてくれない、というのはこの項目にあてはまるのでしょうか。

また、退職して離職票をもらった際には、会社は『自己都合』としているでしょうが、ハローワークに抗議申請をしたらよいのでしょうか。

お正月休みが終わったら、ハローワークにも相談に行こうと思っているのですが、こちらも仕事が始まり行けそうな日がだいぶ後日になりそうなので… でも早めに退職届を出したいため、相談させていただきました。
どなたか、お分かりの方がいらっしゃいましたら教えてください。
宜しくお願いします。

かなりの高確率で、ムリでしょう。

ここでいう「業務」は事業内容を指すとされていたような気がします。違法物品の製造・販売などの場合ですね。

失業保険の延長について
今月の認定日があさっての水曜日になりこれで期間満了になります。
会社都合で辞めたので延長(積極的な就職活動１回です)ができますが、希望の時間の求人がなく応募や面接はしていません。あさってが最終の認定日なのですが今日希望の時間の求人があり応募しました(ネットで応募)がこれでも積極的な就職活動になるのでしょうか？あさってなのでもし不採用だとしてももう延長は無理なのでしょうか？無知ですみません。教えて下さい。

延長されるかどうか、五分五分でしょう。
ハローワーク求人からの応募で紹介状が発行されていればハローワークに記録が残っているので問題なく延長はされるのですが、ハローワーク以外での求人への応募・面接はハローワークには何も記録がありませんからね。
またハローワークにより・給付の担当者によりバラツキもあるようです。

失業認定申告書に応募された会社の社名・担当者名・電話番号をキッチリ書いておくしか方法はありませんね。

延長されるかどうか明確な回答は出来ません。

雇用保険について質問です。
２年半パートで勤めた会社（雇用保険加入済み）を、４月１５日付けで自己都合退職しました。その後５月１日より以前勤めていた会社の同系列の会社で臨時（雇用保険なし）で、７月末まで働きました。４月１５日付けで退職した会社からは、離職票は送られてきていません。同系列で働くことは了解していたので、離職票を送ってこなかったと思います。特に私も請求しませんでした。こういう場合退職後３ヶ月他の会社で働いているし、もし前の会社に離職票をもらえたとしても、失業保険はもらえませんよね？一年間請求する権利があると思います。

ご質問の内容を見る限り、一応手続きはできそうな感じはします。
ただ、１年間請求する権利というのは意味が分かりません。
失業保険の手続きは、あなたの場合、４月１５日付退職ということなので、その翌日１６日から１年以内に「手続き～受給終了」までが入らなければなりません。（途中でお仕事が決まらない限りですが）
もし来年の３月終わり頃に手続きに行っても、失業保険の手続きはできません。できたとしても所定給付日数分を全部受給することはできません。
その辺りのお話は理解されているのでしょうか？

まずは４月１５日付で退職した会社に、離職票の作成をお願いしてください。
失業保険手続きの際にはもう１つ書類がいります。
７月末で退職した会社の離職証明書です。
離職証明書の様式は安定所にあると思いますので、安定所に行って前もって貰いに行き、７月で退職した会社に証明をお願いしてください。
４月で退職した離職票で受給資格があれば手続きは可能です。
手続き後に証明を貰うことでも構わないようですが、時間があるなら先に安定所に様式を貰いに行って手続きの際に揃えて出す方が楽かと思います。

ところで、８月はお仕事（短期バイトも含む）は何もされていなかったのでしょうか？
また、次のお仕事は決まっているのでしょうか？
若しくはもう何か新しいお仕事をされているのでしょうか？
もしそうであれば、残念ながら失業保険の手続きはできません。
今現在あなたにすぐ就職する意思がない場合も同じです。手続きできません。

いずれにしても、離職票を見なければ判断できないことです。
まずは４月で退職した会社に離職票の請求をすることから始めてください。
手続きをするなら、なるべく早めがよろしいかと思いますので、早めに貰うことをお勧めします。

再就職手当について質問です。もらえるのかもらえないのか微妙なので質問します。
４月末で会社都合により退職しました。５月２５日にハローワークで手続きし、７日間待機期間が済んだ６月１日が受給資格日となっています。（受給期間は９０日です）
６月２日に１日アルバイトをして認定日に申請しています。７月９，１０日にもアルバイトが入る可能性があり、次回認定日に申請します。
先日８月１日から正社員での内定がでましたが、現時点では更に条件が良い就職先を探しています。

上記の条件の場合、もし更に条件の良い就職先が見つからず、今内定をもらっている会社に就職した場合、就職する前日の７月３１日にハローワークに行って、最後の手続きをすることになると思うのですが、再就職手当をもらうためには１／３以上の残日数があることが条件になっています。要するに私の場合は、３０日以上の残日数がないともらえないと思うのですが、日数を数えたら非常に微妙です。
７月３１日まで失業保険が支給された場合、残日数は２９日になります。

アルバイトをした３日も含め、このような場合再就職手当支給されますか？されませんか？

詳しい方、よろしくお願いします。

収入のあった日はその月の分としてカウントされず、繰越になります。
認定日は４週間ごとで２８日ですが、収入が３日あったとすると、２５日分支給で、３日分が繰り越されます。
ですので、後１日バイトすれば３０日残になりますでしょうか。
また、会社都合での退職の場合、９０日の期間終了の後、６０日延長の資格が得られる可能性がありますので、一度確認してみてください。

失業保険の「所定給付日数」についての質問です。
私は、会社都合で退職したので、すぐに給付金をもらっています。…があるホームページをみたら、自己都合退職なら90日だけど、会社都合なら180日もらえると書いてあったのですが、本当ですか？

ちなみに私は、年齢は40歳前で前の会社にいた期間は6ヶ月以上1年未満でした。
そして、雇用保険受給資格証の『所定給付日数』は90日と記載されております。

6ヶ月以上1年未満しかかけていないので、90日です。
そんなに長い期間雇用保険を払っていないのに、180日はもらえませんよ。